Question

（2012•玉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限交梯形對(duì)角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E．
（1）填空：雙曲線的另一支在第

三

象限，k的取值范圍是

k＞0

；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，陰影部分的面積S最小？
（3）若

OD

OC

=

1

2

，S_△OAC=2，求雙曲線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)得到：雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限，則k＞0，得到另一支在第三象限；
（2）根據(jù)梯形的性質(zhì)，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），再分別把y=2或x=2代入y=

k

x

可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為（

k

2

，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，

k

2

），然后計(jì)算S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2，配方得

1

8

（k-2）²+

3

2

，當(dāng)k=2時(shí)，S_陰影部分最小值為

3

2

，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)；
（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

k

a

），由

OD

OC

=

1

2

，則OD=DC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，于是C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，

2k

a

），得到A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2k

a

，把y=

2k

a

代入y=

k

x

得x=

a

2

，確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（

a

2

，

2k

a

），根據(jù)三角形面積公式由S_△OAC=2得到

1

2

×（2a-

a

2

）×

2k

a

=2，然后解方程即可求出k的值．

解答：解：（1）三，k＞0；
（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，
而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
把y=2代入y=

k

x

得x=

k

2

；把x=2代入y=

k

x

得y=

k

2

，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（

k

2

，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，

k

2

），
∴S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE
=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2
=

1

8

（k-2）²+

3

2

，
當(dāng)k-2=0，即k=2時(shí)，S_陰影部分最小，最小值為

3

2

；
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最小；
（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

k

a

），
∵

OD

OC

=

1

2

，
∴OD=DC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，

2k

a

），
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2k

a

，
把y=

2k

a

代入y=

k

x

得x=

a

2

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

a

2

，

2k

a

），
∵S_△OAC=2，
∴

1

2

×（2a-

a

2

）×

2k

a

=2，
∴k=

4

3

，
∴雙曲線的解析式為y=

4

3x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：當(dāng)k＞0時(shí)，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象分布在第一、三象限；點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；運(yùn)用梯形的性質(zhì)得到平行線段，從而找到點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．