Question

閱讀材料：一般地，如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根x₁，x₂．那么x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．我們把一元二次方程的根與系數關系的這個結論稱為“韋達定理”．根據這個結論解決下面問題：
已知方程4x²-2x-1=0的兩個根為x₁，x₂，不解方程，求下列代數式的值：
（1）

1

x1

+

1

x2

；
（2）x12+x22；
（3）

x2

x1

+

x1

x2

；
（4）(x1-x2)2．

Answer 1

分析：首先根據一元二次方程的根與系數的關系求得x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

；然后把所求的代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，將x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

代入計算即可．

解答：解：∵方程4x²-2x-1=0的兩個根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

；
（1）原式=

x1+x2

x1x2

=

1 2

- 1 4

=-2；

（2）原式=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

1

4

-2×（-

1

4

）=

3

4

；

（3）原式=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

3 4

- 1 4

=-3；

（4）原式=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

1

4

-4×（-

1

4

）=

5

4

．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．