Question

【題目】小平所在的學習小組發現，車輛轉彎時，能否順利通過直角彎道的標準是，車輛是否可以行駛到和路的邊界夾角是45°的位置（如圖1中②的位置）．例如，圖2是某巷子的俯視圖，巷子路面寬4m，轉彎處為直角，車輛的車身為矩形ABCD，CD與DE、CE的夾角都是45°時，連接EF，交CD于點G，若GF的長度至少能達到車身寬度，即車輛能通過．
（1）小平認為長8m，寬3m的消防車不能通過該直角轉彎，請你幫他說明理由；
（2）小平提出將拐彎處改為圓弧（ 和 是以O為圓心，分別以OM和ON為半徑的弧），長8m，寬3m的消防車就可以通過該彎道了，具體的方案如圖3，其中OM⊥OM′，你能幫小平算出，ON至少為多少時，這種消防車可以通過該巷子？

Answer 1

【答案】
（1）解：消防車不能通過該直角轉彎．

理由如下：如圖，作FH⊥EC，垂足為H，

∵FH=EH=4，

∴EF=4 ，且∠GEC=45°，

∵GC=4，

∴GE=GC=4，

∴GF=4 ﹣4＜3，

即GF的長度未達到車身寬度，

∴消防車不能通過該直角轉彎

（2）解：若C、D分別與M′、M重合，則△OGM為等腰直角三角形，

∴OG=4，OM=4 ，

∴OF=ON=OM﹣MN=4 ﹣4，

∴FG=OG﹣OF= ×8﹣（4 ﹣4）=8﹣4 ＜3，

∴C、D在 上，

設ON=x，連接OC，在Rt△OCG中，

OG=x+3，OC=x+4，CG=4，

由勾股定理得，OG2+CG2=OC2，

即（x+3）2+42=（x+4）2，

解得x=4.5．

答：ON至少為4.5米

【解析】（1）過點F作FH⊥EC于點H，根據道路的寬度求出FH=EH=4m，然后根據等腰直角三角形的性質求出EF、GE的長度，相減即可得到GF的長度，如果不小于車身寬度，則消防車能通過，否則，不能通過；（2）假設車身C、D分別與點M′、M重合，根據等腰直角三角形的性質求出OG= CD=4，OC= CG=4 ，然后求出OF的長度，從而求出可以通過的車寬FG的長度，如果不小于車寬，則消防車能夠通過，否則，不能通過；設ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG= CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式進行計算即可求出ON的最小值．
【考點精析】利用等腰直角三角形和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．