Question

已知如圖，矩形ABCD的周長為28，AB=6，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于E、F，連接AF、CE、EF，且EF與AC相交于點O．
（1）求AC的長；
（2）求證：四邊形AECF是菱形；
（3）求S_△ABF與S_△AEF的比值．

Answer 1

分析：（1）矩形ABCD的周長為28，AB=6，則可求得BC的值，再根據勾股定理求得AC的值；
（2）要證四邊形AFCE是菱形，只需通過定義證明四邊相等即可．此題實際是對判定菱形的方法“對角形垂直平分的四邊形為菱形”的證明；
（3）因為AE=FC，AO=CO，OE=OF，則可根據SSS證明△AOE≌△COF，所以有S_△AEF=S_△ACF，再分別求得S_△ABF與S_△AEF的面積即可得到其比值．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形
∴AB=DC，AD=BC
∵ABCD的周長為28，AB=6
∴AB+DC+AD+BC=28
∴BC=8
∴AC=

AB2+BC2

=

36+64

=10；

（2）∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠OAE=∠OCF
∵EF垂直平分AC
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四邊形AFEC是平行四邊形
又∵EF⊥AC
∴四邊形AFEC是菱形；

（3）∵AE=FC，AO=CO，OE=OF
∴△AOE≌△COF
∴S_△AEF=S_△ACF
∵S_△ABF=3BF，S_△AEF=3FC
∴S_△ABF：S_△AEF=BF：FC．
設FC=x，則AF=x，BF=8-x
在Rt△ABF中，由勾股定理
6²+（8-x）²=x²
解得x=

25

4

∴BF=8-x=

7

4

∴S_△ABF：S_△AEF=BF：FC=7：25

點評：此題主要考查了矩形的性質、線段的垂直平分線性質、菱形的判定以及勾股定理等知識的綜合應用，有利于學生思維能力的訓練．