Question

【題目】在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：

已知：∠α，直線l和l上兩點(diǎn)A，B．

求作：Rt△ABC，使點(diǎn)C在直線l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．

小剛的做法如下：

①以∠α的頂點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交兩邊于M，N；以A為圓心，同樣長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)P；

②以P為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q，作射線AQ；

③以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于E，F；

④分別以E，F為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線l上方交于點(diǎn)G，作射線BG；

⑤射線AQ與射線BG交于點(diǎn)C．Rt△ABC即為所求．

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

連接PQ

在△OMN和△AQP中，

∵ON=AP，PQ=NM，OM=AQ

∴△OMN ≌△AQP（__________）（填寫推理依據(jù)）

∴∠PAQ=∠O=α

∵CE=CF，BE=BF

∴CB⊥EF（____________________________）（填寫推理依據(jù)）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）邊邊邊或SSS，三線合一

【解析】

（1）根據(jù)題目給出的步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖即可得出答案，其中步驟①②是尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，步驟③④是尺規(guī)作圖作垂線，可得出直角；

（2）根據(jù)題目條件，可知在△OMN和△AQP中，對(duì)應(yīng)邊相等，則是利用了SSS證明三角形全等，然后再利用圓規(guī)作圖可知△CEF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一即可證出CB⊥EF．

（1）作圖：如圖

（2）（邊邊邊或SSS）；（三線合一）

解：根據(jù)步驟①用圓規(guī)畫圖，圓的半徑相等，可知ON=AP， OM=AQ，根據(jù)步驟②可知PQ=NM，即直接利用SSS證明△OMN ≌△AQP全等，即第一個(gè)括號(hào)答案可寫“邊邊邊或SSS”；

根據(jù)步驟③用圓規(guī)畫圖，圓的半徑相等，可知BE=BF，根據(jù)步驟④可知CE=CF，即可得出△CEF是等腰三角形，且底邊上B是EF的中點(diǎn)，則可根據(jù)等腰三角形底邊上三線合一即可證出CB⊥EF ，則第二個(gè)括號(hào)答案可寫“三線合一”．