Question

如圖，已知二次函數的圖象過點A（0，﹣3），B（），對稱軸為直線，點P是拋物線上的一動點，過點P分別作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，在四邊形PMON上分別截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．

（1）求此二次函數的解析式；
（2）求證：以C、D、E、F為頂點的四邊形CDEF是平行四邊形；
（3）在拋物線上是否存在這樣的點P，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）。
（2）證明△PCF≌△OED，得CF=DE；證明△CDM≌△FEN，得C D=EF．這樣四邊形CDEF兩組對邊分別對應相等，所以四邊形CDEF是平行四邊形。
（3）拋物線上存在點P，使四邊形CDEF為矩形．這樣的點有四個，在四個坐標象限內各一個，其坐標分別為：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）

解析分析：（1）利用頂點式和待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）證明△PCF≌△OED，得CF=DE；證明△CDM≌△FEN，得C D=EF．這樣四邊形CDEF兩組對邊分別對應相等，所以四邊形CDEF是平行四邊形。
（3）根據已知條件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以證明矩形PMON是正方形．這樣點P就是拋物線y=x²+x﹣3與坐標象限角平分線y=x或y=﹣x的交點，聯立解析式解方程組，分別求出點P的坐標．符合題意的點P有四個，在四個坐標象限內各一個。
解：（1）∵二次函數圖象的對稱軸為直線，∴設二次函數的解析式為：，
∵點A（0，﹣3），B（）在拋物線上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：，即。
（2）證明：如圖，連接CD、DE、EF、FC，

∵PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，
∴四邊形PMON為矩形。
∴PM=ON，PN=OM。
∵PC=MP，OE=ON，∴PC=OE。
∵MD=OM，NF=NP，∴MD=NF。
∴PF=OD。
∵在△PCF與△OED中，，
∴△PCF≌△OED（SAS）。∴CF=DE。
同理可證：△CDM≌△FEN，∴CD=EF。
∵CF=DE，CD=EF，∴四邊形CDEF是平行四邊形。
（3）假設存在這樣的點P，使四邊形CDEF為矩形，
設矩形PMON的邊長PM=ON=m，PN=OM=n，
則PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．
若四邊形CDEF為矩形，則∠DCF=90°，易證△PCF∽△MDC，
∴，即，化簡得：m²=n²。
∴m=n，即矩形PMON為正方形。
∴點P為拋物線與坐標象限角平分線y=x或y=﹣x的交點。
聯立，解得。
∴P₁（），P₂（）。
聯立，解得。
∴P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。
∴拋物線上存在點P，使四邊形CDEF為矩形．這樣的點有四個，在四個坐標象限內各一個，其坐標分別為：P₁（），P₂（），P₃（﹣3，3），P₄（1，﹣1）。