Question

已知1-

1

2

=

1

2

，

1

2

-

1

3

=

1

6

，

1

3

-

1

4

=

1

12

，

1

4

-

1

5

=

1

20

…根據這些等式求值，
（1）計算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

49×50

的值；
（2）根據計算（1）發現的規律，試猜想

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

49×50

…+

1

2008×2009

的值．

Answer 1

分析：從題中

1

1×2

=

1

1

-

1

2

=

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

=

1

6

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

=

1

12

可知

1

n

× 

1

n+1

=

1

n

- 

1

n+1

，從而求（1），（2）

解答：解：因為，

1

1×2

=

1

2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

49×50

=

1

49

-

1

50

（4分）
所以，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

49×50

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

48

-

1

49

+

1

49

-

1

50

（6分）
=1-

1

50

=

49

50

（8分）

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-…-

1

2009

=1+（-

1

2

+

1

2

）+（-

1

3

+

1

3

）+（-

1

4

+

1

4

）-…-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

（10分）

點評：本題考查學生對于數字變化規律型的題目要有一定總結和發現規律的能力．需要學生有一定的數學思想．