Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，連接對(duì)角線BD．

（1）將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．

①依題意補(bǔ)全圖1；

②試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）在（1）的條件下，直接寫(xiě)出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2，F是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足∠AFC=150°，連接FA和FC，探究線段FA、FB和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①圖形見(jiàn)解析②AE=BD（2）判斷： （3）判斷，證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)題意畫(huà)圖即可；

②連接AC，證明△BCD≌△ACE即可；

（2）連接DE，可證三角形ADE為直角三角形，由勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接EF、EA，證明△BCD≌△ACE和直角三角形AEF，結(jié)合勾股定理即可證明.

試題解析：（1）①補(bǔ)全圖形,如圖1

②判斷: AE=BD

證明：如圖2，連接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60° ∴△ABC是等邊三角形

∴∠ACB=60°，且CA=CB∵將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE ∴CD=CE，且∠DCE=60°

∴∠BCD=∠ACE

∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴AE=BD

（2）判斷：

（3）判斷：

證明：如圖3,連接AC，∵BA=BC，且∠ABC=60°

∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，且CA=CB

將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接EF、EA

∴CE=CF，且∠FCE=60°，∴△CEF是等邊三角形

∴∠CFE=60°，且FE=FC，∴∠BCF=∠ACE

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴AE=BF

∵∠AFC=150°, ∠CFE=60°，∴∠AFE=90°

在Rt△AEF中， 有：

∴.