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(2013•德慶縣一模)如果方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的兩個根是x1,x2
(1)求證:x1+x2=-p,x1•x2=q;
(2)已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0,(n≠0)求出一個一元二次方程,使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù);
(3)已知a,b滿足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求
a
b
+
b
a
的值.
分析:(1)利用求根公式求得原方程的兩根,然后求其和與積;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根為x1、x2,則有:x1+x2=-m,x1•x2=m.且由已知所求方程的兩根為
1
x1
1
x2
.則根據(jù)韋達定理推知
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
-m
n
1
x1
1
x2
=
1
x1x2
=
1
n
,由此易求得一元二次方程;
(3)根據(jù)題意知a,b是方程x2-15x-5=0的兩根.所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得a+b=15,ab=-5,則
a
b
+
b
a
=
(a+b)2-2ab
ab
=
(a+b)2
ab
-2=
152
-5
-2=-47.
解答:解:(1)證法1:∵x2+px+q=0,
x1=
p2-4q
-p
2
x2=
-
p2-4q
-p
2

x1+x2=
p2-4q
-p
2
+
-
p2-4q
-p
2
=-p

x1x2=
p2-4q
-p
2
×
-
p2-4q
-p
2
=q

證法2:∵x2+px+q=0的兩根為x1,x2
(x-x1)(x-x2)=x2+px+q
x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q
∴x1+x2=-p,x1x2=q.

(2)設(shè)關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根為x1、x2,則有:x1+x2=-m,x1•x2=n,且由已知所求方程的兩根為
1
x1
1
x2

1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
-m
n
1
x1
1
x2
=
1
x1x2
=
1
n

∴所求方程為x2-
-m
n
x+
1
n
=0,即nx2+mx+1=0(n≠0);

(3)∵a,b滿足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,
∴a,b是方程x2-15x-5=0的兩根.
∴a+b=15,ab=-5,
a
b
+
b
a
=
(a+b)2-2ab
ab
=
(a+b)2
ab
-2=
152
-5
-2=-47.
點評:此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系,將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.
練習冊系列答案
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(2013•德慶縣一模)下列x的值能使
x-6
有意義的是(  )

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(2013•德慶縣一模)不等式3x-6≤0的解集在數(shù)軸上表示正確的是(  )

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(2013•德慶縣一模)計算:(
1
3
)0+
4
cos60°+(
1
4
)-1

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