Question

如圖,已知:在四邊形ABFC中，=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且CF=AE

（1）試探究,四邊形BECF是什么特殊的四邊形;

（2）當∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECF是正方形?請回答并證明你的結論.

（特別提醒:表示角最好用數字）

 

 

Answer 1

（1）四邊形BECF是菱形．（2）當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．

【解析】

試題分析：（1）根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，根據四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；

（2）由菱形的性質知，對角線平分一組對角，即當∠ABC=45°時，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45°．

試題解析：（1）四邊形BECF是菱形．

證明：∵BC的垂直平分線為EF，

∴BF=FC，BE=EC，

∴∠1=∠3，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，

∴∠2=∠A，

∴EC=AE，

又∵CF=AE，BE=EC

∴BE=EC=CF=BF，

∴四邊形BECF是菱形．

（2）當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．

證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠3=45°，

∴∠EBF=2∠3=90°，

∴菱形BECF是正方形．

考點：1.菱形的判定；2.線段垂直平分線的性質；3.正方形的判定．