Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，且⊙O經過BC的中點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，BC=6cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由已知D為BC中點，且O為AB中點，所以線段OD為三角形ABC的中位線，根據三角形中位線性質得到OD與AC平行，由ED與AC垂直，得到ED與OD垂直，又OD為圓O的半徑，從而得到DE是⊙O的切線；
（2）由（1）得到OD與AC平行，根據兩直線平行同位角相等得到角C與角ODB相等，根據等邊對等角得到角B與角ODB相等，等量代換得到角B與角C相等，都為30°，過O作OH于BD垂直，垂足為H，根據垂徑定理得到BH=HD，由BC的值求出BD和BH的值，然后在直角三角形OBH中，由30°角的余弦和BH的值即可求出OB的值，即為圓的半徑．
解答：解：（1）連OD，（1分）
∵O、D分別是AB、BC的中點，∴OD∥AC，（2分）
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD（3分）
∴DE是⊙O的切線．（5分）

（2）∵OD∥AC，∴∠ODB=∠C
∵OB=OD，∴∠ODB=∠B（6分）
∵∠C=30°∴∠ODB=∠B=30°（7分）
過點O作OH⊥BD，則BH=HD，
∵BC=6cm，且D是BC的中點，∴BD=3cm，∴BH=cm，（8分）
在△OBH中，∠OHB=90°，∠B=30°，∴cos30°=，
∴OB==cm，即⊙O的半徑為cm．（10分）
點評：此題綜合了平行線的性質與判斷，三角形與圓的有關知識．其中弦弧計算題常作弦心距，見了有切線圓心切點連，兩種技能在此題中都用的比較突出．解題的方法可稱為“構圖建模計算法”．