Question

某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

　　●操作發現：

      在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是         （填序號即可）

     ①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB．

●數學思考：

  在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；

●類比探索：

  在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．

  答：           ．

Answer 1

【答案】 解：

●操作發現：①②③④

●數學思考：

答：MD=ME，MD⊥ME，

１、MD=ME；

如圖2，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中點，

∴MF∥AC，MF=AC．

又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，

∴EG⊥AC且EG=AC，

∴MF=EG．

同理可證DF=MG．

∵MF∥AC，

∴∠MFA＋∠BAC=180°．

同理可得∠MGA+∠BAC=180°，

∴∠MFA=∠MGA．

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．

同理可得∠DFA=90°，

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，

即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴MD=ME．

2、MD⊥ME；

證法一：∵MG∥AB，

∴∠MFA+∠FMG=180°，

又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF.

∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，

其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，

∴∠DME=90°.

即MD⊥ME；

證法二：如圖2，MD與AB交于點H，

∵AB∥MG，

∴∠DHA=∠DMG，

又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,

即∠DHA=∠FDM+90°,

∵∠DMG=∠DME+∠GME，

∴∠DME=90°

即MD⊥ME；

●類比探究

答：等腰直角三解形

【考點解剖】  本題考查了軸對稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉化等知識，能力要求很高．

【解題思路】  （1） 由圖形的對稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DMB=45°也正確；（2）直覺告訴我們MD和ME是垂直且相等的關系，一般由全等證線段相等，受圖1△DFM≌△MGE的啟發，應想到取中點構造全等來證MD=ME，證MD⊥ME就是要證∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四個角相加為180°，∠FMG可看成三個角的和，通過變形計算可得∠DME=90°． （3）只要結論，不要過程，在（2）的基礎易知為等腰直角三解形.

【解答過程】  略.

【方法規律】  由特殊到一般，形變但本質不變（仍然全等）

【關鍵詞】  課題學習  全等   開放探究