Question

【題目】對于平面直角坐標系中的點，給出如下定義：若存在點（為正數），稱點為點的等距點.例如：如圖，對于點，存在點，點，則點分別為點的等距點.

（1）若點的坐標是，寫出當時，點在第一象限的等距點坐標；

（2）若點的等距點的坐標是，求當點的橫、縱坐標相同時的坐標；

（3）是否存在適當的值，當將某個點的所有等距點用線段依次連接起來所得到的圖形周長不大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的等距點為；（2）點點坐標為；（3）.

【解析】

（1）根據等距點的定義可作判斷；
（2）設點的坐標為，根據等距點的定義分兩種情況列方程即可解答；
（3）根據題意畫出圖形可知．所有等距點用線段依次連接起來所得到的圖形是矩形，其邊長為2a，周長為8a，依據題意可得不等式求出a的取值范圍.

解：（1）∵點的坐標是，當時，

∴點的等距點有（4，5）；（-4，-3），（4，-3），（-4，5）

∴點在第一象限的等距點坐標為；

（2）設點的坐標為，

由題意得，，

∴或

∴解得，

∴點點坐標為；

（3）由題意得，∴，

∴

∴的取值范圍：.