Question

矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE=

3

，則BD=

 

．

Answer 1

分析：由于AB為矩形的長邊或短邊不能確定，所以應分兩種情況進行討論：
AB是矩形較短邊時可設出OE=x，ED=3x，然后在直角三角形OEA中利用勾股定理進行求解；
當AB是矩形較長邊時，設OE=x，則ED=3x，在Rt△AOE中利用勾股定理可求出x的值，進而得出結論．

解答：解：如圖（一）所示，
AB是矩形較短邊時，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD=

1

2

BD；
∵OE：ED=1：3，
∴可設OE=x，ED=3x，則OD=2x
∵AE⊥BD，AE=

3

，
∴在Rt△OEA中，x²+（

3

）²=（2x）²，
∴x=1
∴BD=4．
當AB是矩形較長邊時，如圖（二）所示，
∵OE：ED=1：3，
∴設OE=x，則ED=3x，
∵OA=OD，
∴OA=4x，
在Rt△AOE中，x²+（

3

）²=（4x）²，
∴x=

5

5

，
∴BD=8x=8×

5

5

=

8 5

5

．
故答案為：4或

8 5

5

．

點評：本題的關鍵是設出未知數，利用勾股定理把求線段的長的問題轉化為方程問題．