Question

【題目】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點．

（1）如圖1，若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數量關系為______和位置關系為______；

（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；

（3）如圖3，將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？寫出結論，證明．

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，證明見解析；（3）成立，結論是FH=FG，FH⊥FG．證明見解析.

【解析】

（1）證AD=BE，根據三角形的中位線推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，即可推出答案；
（2）證△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根據三角形的中位線定理即可推出答案；
（3）連接BE、AD，根據全等推出AD=BE，根據三角形的中位線定理即可推出答案．

（1）∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，

∴BE=AD，

∵F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，

∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∴FH=FG，

∵AD⊥BE，

∴FH⊥FG，

故答案為：相等，垂直．

（2）答：成立，

證明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，

由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∴FH=FG，FH⊥FG，

∴（1）中的猜想還成立．

（3）答：成立，結論是FH=FG，FH⊥FG．

連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，

同（1）可證

∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，

∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，

∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，

∴∠DXB+∠EBC=90°，

∴∠EZA=180°﹣90°=90°，

即AD⊥BE，

∵FH∥AD，FG∥BE，

∴FH⊥FG，

即FH=FG，FH⊥FG，

結論是FH=FG，FH⊥FG.