Question

【題目】定義：有三個內角相等的四邊形叫三等角四邊形．

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；

（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點E，F分別落在邊BE，BF上的點A，C處，折痕分別為DG，DH．求證：四邊形ABCD是三等角四邊形．

（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，則當AD的長為何值時，AB的長最大，其最大值是多少？并求此時對角線AC的長．

Answer 1

【答案】（1）60°＜∠A＜120°；（2）證明見解析；（3）當AD=2時，AB的長最大，最大值是5，此時AC=．

【解析】

試題分析：（1）根據四邊形的內角和是360°，確定出∠A的范圍；

（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據等角的補角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；

（3）分三種情況分別討論計算AB的長，從而得出當AD=2時，AB最長，最后計算出對角線AC的長．

試題解析：（1）∵∠A=∠B=∠C，∴3∠A+∠ADC=360°，∴∠ADC=360°﹣3∠A．

∵0＜∠ADC＜180°，∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，∴60°＜∠A＜120°；

（2）證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．

∵DE=DA，DF=DC，∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，∴四邊形ABCD是三等角四邊形

（3）①當60°＜∠A＜90°時，如圖1，過點D作DF∥AB，DE∥BC，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC=∠B=∠DEA，∴EB=DF，DE=FB，∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，設AD=x，AB=y，∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，∵△DAE∽△DCF，∴，∴，∴=，∴當x=2時，y的最大值是5，即：當AD=2時，AB的最大值為5；

②當∠A=90°時，三等角四邊形是正方形，∴AD=AB=CD=4；

③當90°＜∠A＜120°時，∠D為銳角，如圖2，∵AE=4﹣AB＞0，∴AB＜4，綜上所述，當AD=2時，AB的長最大，最大值是5；

此時，AE=1，如圖3，過點C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，∵DA=DE，DN⊥AB，∴AN=AE=，∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，∴△DAN∽△CBM，∴，∴BM=1，∴AM=4，CM==，∴AC===．