Question

九年級數學興趣小組組織了以“等積變形”為主題的課題研究．
第一學習小組發現：如圖（1），點A、點B在直線l₁上，點C、點D在直線l₂上，若l₁∥l₂，則S_△ABC=S_△ABD；反之亦成立．
第二學習小組發現：如圖（2），點P是反比例函數y=

k

x

上任意一點，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，則矩形OMPN的面積為定值|k|．

請利用上述結論解決下列問題：
（1）如圖（3），四邊形ABCD、與四邊形CEFG都是正方形點E在CD上，正方形ABCD邊長為2，則S_△BDF=

 

．
（2）如圖（4），點P、Q在反比例函數y=

k

x

圖象上，PQ過點O，過P作y軸的平行線交x軸于點H，過Q作x軸的平行線交PH于點G，若S_△PQG=8，則S_△POH=

 

，k=

 

．
（3）如圖（5）點P、Q是第一象限的點，且在反比例函數y=

k

x

圖象上，過點P作x軸垂線，過點Q作y軸垂線，垂足分別是M、N，試判斷直線PQ與直線MN的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CF，根據正方形的性質可知，CF∥BD，△CBD與△FBD同底等高，故S_△BDF=S_△BDC，可求解；
（2）設P（x，y），則k=xy，根據P點所在象限及P、Q關于原點中心對稱，得GQ=-2x，PG=2y，由已知，得S_△PQG=

1

2

×GQ×PG=8，可求S_△POH及k的值；
（3）作PA⊥y軸，QB⊥x軸，垂足為A，B，連接PN，MQ，根據雙曲線的性質可知，S_矩形AOMP=S_矩形BONQ=k，可得S_矩形ANCP=S_矩形BMCQ，則有S_△NCP=S_△MCQ，S_△NPQ=S_△MPQ，可證PQ∥MN．

解答：解：（1）連接CF，
∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，
∴CF∥BD，△CBD與△FBD同底等高，
∴S_△BDF=S_△BDC=

1

2

S_{正方形ABCD}=2；

（2）設P（x，y），則k=xy，
根據題意，得GQ=-2x，PG=2y，
∴S_△PQG=

1

2

×GQ×PG=8，即

1

2

•（-2x）•2y=8，
解得xy=-4，即k=-4，
S_△POH=

1

2

×OH×PH=-

1

2

xy=2；

（3）PQ∥MN．
理由：作PA⊥y軸，QB⊥x軸，垂足為A，B，連接PN，MQ，
根據雙曲線的性質可知，S_矩形AOMP=S_矩形BONQ=k，
∴S_矩形ANCP=S_矩形BMCQ，可知S_△NCP=S_△MCQ，
∴S_△NPQ=S_△MPQ，
∴PQ∥MN．
故本題答案為：（1）2，（2）2，-4．

點評：本題通過反比例函數的知識，考查學生的猜想探究能力．解題時先直觀地猜想，再按照從特殊到一般的方法去驗證．