Question

【題目】已知：如圖，點P是等邊△ABC內一點，連接PC，以PC為邊作等邊三角形△PDC，連接PA，PB，BD．

（1）求證：∠APC＝∠BDC；

（2）當∠APC＝150°時，試猜想△DPB的形狀，并說明理由；

（3）當∠APB＝100°且DB＝PB，求∠APC的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△DPB是直角三角形，理由見解析；（3）∠APC＝130°

【解析】

（1）由“SAS”可證△ACP≌△BCD，可得∠APC＝∠BDC；

（2）由全等三角形的性質可得∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°，可得∠BDP＝90°，即可求解；

（3）設∠APC＝x，由周角的性質和等邊三角形的性質可得∠BPD＝200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°，由等腰三角形的性質可列方程，即可求解．

（1）如圖，∵△ABC，△PDC是等邊三角形，

∴AC＝BC，PC＝PD＝CD，∠ACB＝∠PCD＝60°，

∴∠ACB-∠PCB＝∠PCD-∠PCB

∴∠ACP＝∠BCD，

∵AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACP≌△BCD（SAS）

∴∠APC＝∠BDC；

（2）△DPB是直角三角形．

理由：∵∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°

∴∠BDP＝∠BDC﹣∠PDC＝90°，

∴△DPB是直角三角形；

（3）設∠APC＝x，則∠BPD＝=360°-100°-60°-x=200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°

∵PB＝DB，

∴∠BPD＝∠BDP，

∴200°﹣x＝x﹣60°，

∴x＝130°，

∴∠APC＝130°