Question

已知：如圖，正方形ABCD，對角線AC、BD相交于O，Q為線段DB上的一點，∠MQN=90°，點M、N分別在直線BC、DC上，
（1）如圖1，當Q為線段OD的中點時，求證：DN+BM=BC；
（2）如圖2，當Q為線段OB的中點，點N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數量關系為______；
（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點E、F，若MB：MC=3：1，NQ=，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，過Q點作QP⊥BD交DC于P，然后根據正方形的性質證明△QPN∽△QBM，就可以得出結論；
（2）如圖2，過Q點作QH⊥BD交BC于H，通過證明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性質就可以得出結論；
（3）由條件設CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性質可以求出MQ的值，再根據勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出結論．
解答：解：（1）如圖1，過Q點作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ．
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴．
∵Q是OD的中點，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC
∴BQ=3DQ．DN+NP=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM．
∴DN+BM=BC．

（2）如圖2，過Q點作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°．
∵∠COB=45°，
∴QH∥OC．
∵Q是OB的中點，
∴BH=CH=BC．
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴．
故答案為：

（3）∵MB：MC=3：1，設CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴PB=2x，
∴PM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x
∵四邊形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，，
∴，
∴DE=，
∴
∵NQ=，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MN==15．
∴，
∴NE=
∴EM=
設EF=a，則FM=7a，
∴a+7a=
∴a=
點評：本題是一道相似的綜合試題，考查了正方形的性質的運用，相似三角形的判定于性質的運用，勾股定理的運用及平行線等分線段定理的運用，在解答時利用三角形相似的性質求出線段的比是解答本題的關鍵．