Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．點M從點A出發，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時直線PQ由點B出發沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于P，交BC于Q，連接PM，設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．

（1）當四邊形PQCM是平行四邊形時，求t的值；
（2）當t為何值時，△PQM是等腰三角形？
（3）以PM為直徑作⊙E，在點P、Q整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得⊙E與BC相切？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） t＝  （2）t＝   （3）存在。當t＝或時，⊙E與BC相切

試題分析：（1）如圖，t＝10―2t

解得 t＝
（2）①若PQ=PM，則

化簡得，
此方程無解，舍去；
②若PQ=QM，則
，
解得t＝10（舍去），t＝
③若PM=QM，則

，解得t＝
∴當t＝或時，△PQM是等腰三角形．
（3）假設存在．當⊙E與BC相切時，

解得t＝，t＝．
∴當t＝或時，⊙E與BC相切．
本題涉及了幾何圖形的性質，該題較為復雜，是常考題，主要考查學生對平行四邊形、等腰三角形、圓與直線關系的性質以及各種數量關系的分析掌握情況。