Question

在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N、O、P分別在邊AB、BC、CD、DA上．如果AM=BM，DP=3AP，則MN+NO+OP的最小值是

 

．

Answer 1

分析：作點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，過(guò)P作關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，及勾股定理即可求解．

解答：解：作點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，過(guò)P作關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連M′P′交BC，CD于N，O，
所以M′N(xiāo)=MN，OP=OP′
MN+NO+OP=NM′+ON+OP′=M′P′
此時(shí)MN+NO+OP有最小值，
由作法，得BM′=BM=

1

2

，所以AM′=3/2，
DP′=3/4，AP′=1+3/4=7/4
在直角三角形AM′P′中，M′P′²=AM′²+AP′²=

85

16

，
所以M′P′=

85

4

．
故答案為：

85

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，熟知正方形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．