Question

如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB=AC，點P是的中點，連接PA，PB，PC．
（1）如圖①，若∠BPC=60°．求證：AC=AP；
（2）如圖②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．

Answer 1

解：（1）∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而點P是的中點，
∴∠ACP=∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA==tan30°=，
∴AC=PA；

（2）過A點作AD⊥BC交BC于D，連結OP交AB于E，如圖，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴點O在AD上，
連結OB，則∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC==，
設OB=25x，則BD=24x，
∴OD==7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB==40x，
∵點P是的中點，
∴OP垂直平分AB，
∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE==15x，
∴PE=OP-OD=25x-15x=10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE===，
即tan∠PAB的值為．
分析：（1）根據圓周角定理得∠BPC=∠BAC=60°，可判斷△ABC為等邊三角形，∠ACB=∠ABC=60°，再利用圓周角定理得到∠APC=∠ABC=60°，而點P是的中點，則∠ACP=∠ACB=30°，于是∠PAC=90°，然后根據30度的正切可計算出AC=AP；
（2）過A點作AD⊥BC交BC于D，連結OP交AB于E，根據垂徑的推論得到點O在AD上，連結OB，根據圓周角定理得∠BOD=∠BAC，∠BPC=∠BAC，所以sin∠BOD=sin∠BPC==，設OB=25x，則BD=24x，在Rt△OBD中可計算出OD=7x，再在Rt△ABD計算出AB=40x，由于點P是的中點，根據垂徑定理的推論OP垂直平分AB，則AE=AB=20x，
在Rt△AEO中，根據勾股定理計算出OE=4x，所以PE=（25-4）x，最后在Rt△APE中，利用正切的定義求解．
點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理、圓周角定理和解直角三角形．