Question

（1）計算：-2²+（tan60°-1）×

3

+（-

1

2

）^-2+（-π）⁰-|2-

3

|
（2）先化簡，再求值：（

x+2

x2-2x

-

x-1

x2-4x+4

）÷

x2-16

x2+4x

，其中x=2+

2

．
（3）已知關于x的不等式ax+3＞0（其中a≠0）
①當a=-2時，求此不等式的解，并在數軸上表示此不等式的解集；
②小明準備了十張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，將這10張卡片寫有整數的一面向下放在桌面上．從中任意抽取一張，以卡片上的數作為不等式中的系數a，求使該不等式沒有正整數解的概率．

Answer 1

分析：（1）原式第一項表示2平方得相反數，第二項利用特殊角的三角函數值化簡，第三項利用負指數公式化簡，第四項利用零指數公式化簡，最后一項根據2-

3

大于0，利用正數的絕對值等于它本身化簡，去括號合并后即可得到原式的值；
（2）將原式被除式的兩項分母分解因式，通分并利用同分母分式的減法法則計算，除式分子利用平方差公式分解因式，分母提取x分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分后得到最簡結果，將x的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值；
（3）①將a=-2代入不等式中，移項將未知數x系數化為1，求出不等式的解集，表示在數軸上即可；
②分別將a=-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3代入不等式，求出不等式的解集，發現不等式解集沒有正整數解，而將a=-2，-1代入不等式有正整數解，即可求出該不等式沒有正整數解的概率．

解答：解：（1）-2²+（tan60°-1）×

3

+（-

1

2

）^-2+（-π）⁰-|2-

3

|
=-4+（

3

-1）×

3

+4+1-（2-

3

）
=-4+3-

3

+4+1-2+

3

=2；

（2）（

x+2

x2-2x

-

x-1

x2-4x+4

）÷

x2-16

x2+4x

=[

x+2

x(x-2)

-

x-1

(x-2)2

]÷

(x+4)(x-4)

x(x+4)

=

(x+2)(x-2)-x(x-1)

x(x-2)2

•

x

x-4

=

x-4

x(x-2)2

•

x

x-4

=

1

(x-2)2

，
當x=2+

2

時，原式=

1

2

；

（3）①當a=-2時，不等式化為-2x+3＞0，
移項得：-2x＞-3，
解得：x＜1.5，
在數軸上表示，如圖所示：
；
②當a=-10時，不等式化為-10x+3＞0，
解得：x＜

3

10

，沒有正整數解；
當a=-9時，不等式化為-9x+3＞0，
解得：x＜

1

3

，沒有正整數解；
同理當a=-8，-7，-6，-5，-4，-3時，不等式沒有正整數解；
當a=-2時，原不等式解集為x＜1.5，正整數解為1；
當a=-1時，原不等式解得x＜3，正整數解為1，2，
則該不等式沒有正整數解的概率P=

8

10

=

4

5

．

點評：此題考查了實數的混合運算，分式的化簡求值，以及一元一次不等式的正整數解，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．