Question

【題目】圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連結AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．

∵將點E（0，3）代入拋物線的解析式得：﹣3a=3，

∴a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴B（1，4）

（2）

解：如圖1所示：過點B作BF⊥y軸，垂足為F．

∵A（3，0），E（0，3），

∴OE=OA=3．

∴∠OEA=45°．

∵E（0，3），B（1，4），

∴EF=BF．

∴∠FEB=45°．

∴∠BEA=90°．

∴AB為△ABE的外接圓的直徑．

∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，

∴△BFE∽△AOE．

∴tan∠EAB= = ．

∵tan∠CBE= ，

∴∠CBE=∠EAB．

∵∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．

∴CB是△ABE的外接圓的切線

（3）

解：如圖2所示：

∵ 且∠DOE=∠BEA=90°，

∴△EOD∽△AEB．

∴當點P與點O重合時，△EPD∽△AEB．

∴點P的坐標為（0，0）．

過點D作DP′⊥DE，交y軸與點P′．

∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，

∴△EDP′∽△EOD．

又∵△EOD∽△AEB，

∴△EDP′∽△AEB．

∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，

∴∠ODP′=∠DEP′．

∴ = ，即 ．

∴OP′= ．

∴點P′的坐標為（0，﹣ ）．

過點E作EP″⊥DE，交x軸與點P″．

∵∠EDP″=∠EDO，∠EOD=∠DEP″，

∴△EDO∽△P″DE．

∵又∵△EOD∽△AEB，

∴△EDP″∽△AEB．

∴∠EP″O=∠BAE．

∴tan∠EP″O= = ，即 = ．

∴OP″=9．

∴P″（9，0）．

綜上所述，點P的坐標為（0，0）或（0，﹣ ）或（9，0）

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將點E（0，3）代入拋物線的解析式求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）過點B作BF⊥y軸，垂足為F．先依據配方法可求得點B的坐標，然后依據點A、B、E三點的坐標可知△BFE和△EAO為等腰直角三角形，從而可證明△BAE為直角三角形，接下來證明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性質可證明 = ，從而可得到∠CBE=∠EAB，于是可證明∠CBA=90°，故此CB是△ABE的外接圓的切線；（3）過點D作DP′⊥DE，交y軸與點P′，過點E作EP″⊥DE，交x軸與點P″．然后證明△DEO、△P′DO、△EP″O均與△BAE相似，然后依據相似三角形的性質分別可求得DO、OP′、OP″的長度，從而可求得點P的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．