精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

閱讀材料：
（1）對于任意實數a和b，都有（a-b）²≥0，∴a²-2ab+b²≥0，于是得到a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立．
（2）任意一個非負實數都可寫成一個數的平方的形式．即：如果a≥0，則 $數學公式$ ．如：2= $數學公式$ ， $數學公式$ 等．
例：已知a＞0，求證： $數學公式$ ．
證明：∵a＞0，∴ $數學公式$
∴ $數學公式$ ，當且僅當 $數學公式$ 時，等號成立．
請解答下列問題：
某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成（如圖所示）．設垂直于墻的一邊長為x米．
（1）若所用的籬笆長為36米，那么：
①當花圃的面積為144平方米時，垂直于墻的一邊的長為多少米？
②設花圃的面積為S米²，求當垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大？并求出這個最大面積；
（2）若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？

（1）解：由題意得 x（36-2x）=144，
化簡后得 x²-18x+72=0
解得：x₁=6，x₂=12，
答：垂直于墻的一邊長為6米或12米；

（2）解：由題意得
S=x（36-2x）=-2x²+36x，
=-2（x-9）²+162，
∵a=-2＜0，∴當x=9時，S取得最大值是162，
∴當垂直于墻的一邊長為9米時，S取得最大值，最大面積是162m²；

（3）解：設所需的籬笆長為L米，由題意得 $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ ，
∴若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是40米．
分析：（1）①用含x的代數式表示出矩形的另一邊的長，再根據矩形的面積公式即可建立方程，方程的解即為垂直于墻的一邊的長；
②利用二次函數的性質即可求出當垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大值和此時的面積；
（2）設所需的籬笆長為L米，由題意得： $\text{[math]}$ ，再根據給出的材料提示即可求出需要用的籬笆最少是多少米．
點評：此題考查了二次函數和一元二次方程的實際應用問題．解題的關鍵是根據題意構建二次函數模型，然后根據二次函數的性質求解即可．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2011•寶安區一模）閱讀材料：
（1）對于任意實數a和b，都有（a-b）²≥0，∴a²-2ab+b²≥0，于是得到a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立．
（2）任意一個非負實數都可寫成一個數的平方的形式．即：如果a≥0，則a=(

)2．如：2=(

)2，3=(

)3等．
例：已知a＞0，求證：a+

≥

．
證明：∵a＞0，∴a+

)2+(

)2≥2×

∴a+

≥

，當且僅當a=

時，等號成立．
請解答下列問題：
某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成（如圖所示）．設垂直于墻的一邊長為x米．
（1）若所用的籬笆長為36米，那么：
①當花圃的面積為144平方米時，垂直于墻的一邊的長為多少米？
②設花圃的面積為S米²，求當垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大？并求出這個最大面積；
（2）若要圍成面積為200平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•赤峰）閱讀材料：
（1）對于任意兩個數a、b的大小比較，有下面的方法：
當a-b＞0時，一定有a＞b；
當a-b=0時，一定有a=b；
當a-b＜0時，一定有a＜b．
反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個數大小的方法叫做“求差法”．
（2）對于比較兩個正數a、b的大小時，我們還可以用它們的平方進行比較：
∵a²-b²=（a+b）（a-b），a+b＞0
∴（a²-b²）與（a-b）的符號相同
當a²-b²＞0時，a-b＞0，得a＞b
當a²-b²=0時，a-b=0，得a=b
當a²-b²＜0時，a-b＜0，得a＜b
解決下列實際問題：
（1）課堂上，老師讓同學們制作幾種幾何體，張麗同學用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學用了2張A4紙，8張B5紙．設每張A4紙的面積為x，每張B5紙的面積為y，且x＞y，張麗同學的用紙總面積為W₁，李明同學的用紙總面積為W₂．回答下列問題：
①W₁=

3x+7y

（用x、y的式子表示）
W₂=

2x+8y

（用x、y的式子表示）
②請你分析誰用的紙面積最大．
（2）如圖1所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，已知A、B到l的距離分別是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，現設計兩種方案：

方案一：如圖2所示，AP⊥l于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₁=AB+AP．
方案二：如圖3所示，點A′與點A關于l對稱，A′B與l相交于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₂=AP+BP．
①在方案一中，a₁=

（3+x）

km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a₂=

x2+48

km（用含x的式子表示）；
③請你分析要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二．

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科目：初中數學 來源：2012年初中畢業升學考試（內蒙古赤峰卷）數學（帶解析） 題型：解答題

閱讀材料：
（1）對于任意兩個數的大小比較，有下面的方法：
當時，一定有；
當時，一定有；
當時，一定有．
反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個數大小的方法叫做“求差法”．
（2）對于比較兩個正數的大小時，我們還可以用它們的平方進行比較：
∵，
∴（）與（）的符號相同
當＞0時，＞0，得
當=0時，=0，得
當＜0時，＜0，得
解決下列實際問題：
（1）課堂上，老師讓同學們制作幾種幾何體，張麗同學用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學用了2張A4紙，8張B5紙．設每張A4紙的面積為x，每張B5紙的面積為y，且x＞y，張麗同學的用紙總面積為W₁，李明同學的用紙總面積為W₂．回答下列問題：
①W₁=             （用x、y的式子表示）
W₂=             （用x、y的式子表示）
②請你分析誰用的紙面積最大．
（2）如圖1所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A．B兩鎮供氣，已知A．B到l的距離分別是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，現設計兩種方案：

方案一：如圖2所示，AP⊥l于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₁=AB+AP．
方案二：如圖3所示，點A′與點A關于l對稱，A′B與l相交于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a₂=AP+BP．
①在方案一中，a₁=             km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a₂=   km（用含x的式子表示）；
③請你分析要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二．