Question

【題目】根據題意解答：（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D．

（2）閱讀下面的內容，并解決后面的問題： 如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數．

解：∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD

∴∠1=∠2，∠3=∠4

由（1）的結論得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D

∴∠P= （∠B+∠D）=26°．

①如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數，并說明理由．

②在圖4中，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論，無需說明理由．

③在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論，無需說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣（∠B+∠D）；③∠P=90°+ （∠B+∠D）．

【解析】試題分析：（1）根據三角形的內角和等于180°列式整理即可得證；

（2）根據角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據（1）的結論列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根據（1）的結論列出等式并整理即可得解；

②根據四邊形的內角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；

③根據（1）的結論∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．

試題解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜， ∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．

（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的結論得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B ②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B ③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=（∠B+∠D ）=26°．

②如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四邊形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四邊形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）；

③如圖5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ （∠B+∠D）．