Question

如圖，Rt△ADE是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，連接CE交斜邊AB于點F，CE的延長線交BD于點G．
（1）試說明∠ACE=∠ABD；
（2）設∠ABC=α，∠CAE=β，試探索α、β 滿足什么關系時，△ACF與△GBF是全等三角形，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵Rt△ADE是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到，
∴旋轉角=∠CAE=∠BAD，Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴AC=AE，AB=AD，
在△ACE中，∠ACE=

1

2

（180°-∠CAE），
在△ABD中，∠ABD=

1

2

（180°-∠BAD），
∴∠ACE=∠ABD；

（2）∵△ACF≌與△GBF，∠ACE和∠ABD是對應角，∠AFC和∠GFB是對頂角，
∴BF=CF，
∴∠BCF=∠ABC=α，
又∵∠ACE=

1

2

（180°-∠CAE）=

1

2

（180°-β），
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=α+

1

2

（180°-β）=90°，
整理得，2α=β．