Question

【題目】受“新冠”疫情影響，全國中小學延遲開學，很多學校都開展起了“線上教學”，市場上對手寫板的需求激增．重慶某廠家準備3月份緊急生產A，B兩種型號的手寫板，若生產20個A型號和30個B型號手寫板，共需要投入36000元；若生產30個A型號和20個B型號手寫板，共需要投入34000元．

（1）請問生產A，B兩種型號手寫板，每個各需要投入多少元的成本？

（2）經測算，生產的A型號手寫板每個可獲利200元，B型號手寫板每個可獲利400元，該廠家準備用10萬元資金全部生產這兩種手寫板，總獲利w元，設生產了A型號手寫板a個，求w關于a的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，若要求生產A型號手寫板的數量不能少于B型號手寫板數量的2倍，請你設計出總獲利最大的生產方案，并求出最大總獲利．

Answer 1

【答案】（1）生產A種型號的手寫板需要投入成本600元，生產B種型號的手寫板需要投入成本800元；（2）w＝﹣100a+50000；（3）總獲利最大的生產方案是生產A型號的手寫板100臺，B型號的手寫板50臺，最大總獲利是40000元．

【解析】

（1）根據生產20個A型號和30個B型號手寫板，共需要投入36000元；若生產30個A型號和20個B型號手寫板，共需要投入34000元，可以列出相應的二元一次方程組，從而可以求得生產A，B兩種型號手寫板，每個各需要投入多少元的成本；

（2）根據題意和（1）中的結果可以得到w與a的函數關系式；

（3）要求生產A型號手寫板的數量不能少于B型號手寫板數量的2倍，可以得到a的取值范圍，再根據（2）中的函數關系式和一次函數的性質可以得到總獲利最大的生產方案，并求出最大總獲利．

解：（1）設生產A種型號的手寫板需要投入成本元，生產B種型號的手寫板需要投入成本元，

，得，

即生產A種型號的手寫板需要投入成本600元，生產B種型號的手寫板需要投入成本800元；

（2）∵該廠家準備用10萬元資金全部生產這兩種手寫板，生產了A型號手寫板a個，

∴生產B型號的手寫板的數量為：＝（個），

∴w＝200a+400×＝﹣100a+50000，

即w關于a的函數關系式為w＝﹣100a+50000；

（3）∵要求生產A型號手寫板的數量不能少于B型號手寫板數量的2倍，

∴a≥×2，

∴a≥100，

∵w＝﹣100a+50000，

∴當a＝100時，w取得最大值，此時w＝40000，＝50，

答：總獲利最大的生產方案是生產A型號的手寫板100臺，B型號的手寫板50臺，最大總獲利是40000元．