Question

【題目】如圖，已知，，點D在邊BC上與B，C不重合，四邊形ADEF為正方形，過點F作，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，得出以下結論：；：2；；其中正確結論的個數是　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由正方形的性質得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，證出∠CAD=∠AFG，由AAS證明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正確；

證明四邊形CBFG是矩形，得出S△FAB=FBFG=S四邊形CBFG，②正確；

由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出∠ABC=∠ABF=45°，③正確；

證出△ACD∽△FEQ，得出對應邊成比例，得出DFE=AD2=FQAC，④正確．

詳解：∵四邊形ADEF為正方形，

∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，

∴∠CAD+∠FAG=90°，

∵FG⊥CA，

∴∠GAF+∠AFG=90°，

∴∠CAD=∠AFG，

在△FGA和△ACD中，

，

∴△FGA≌△ACD（AAS），

∴AC=FG，故①正確；

∵BC=AC，

∴FG=BC，

∵∠ACB=90°，FG⊥CA，

∴FG∥BC，

∴四邊形CBFG是矩形，

∴∠CBF=90°，S△FAB=FBFG=S四邊形CBFG，故②正確；

∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，

∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正確；

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC：AD=FE：FQ，

∴ADFE=AD2=FQAC，故④正確；

故選：D．