Question

關于三角函數有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ②
tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

③
利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）=

tan45°+tan60°

1-tan45°•tan60°

=

1+ 3

1-1• 3

=

(1+ 3 )(1+ 3 )

(1- 3 )(1+ 3 )

=-（2+

3

）．
根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：
如圖，直升飛機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角α=60°，底端C點的俯角β=75°，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高．

Answer 1

分析：先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D兩點垂直距離．CD的長由二者相減即可求得．

解答：解：由于α=60°，β=75°，BC=42，
則AB=BC•tanβ=42tan75°=42•

tan45°+tan30°

1-tan45°•tan30°

=42•

1+ 3 3

1- 3 3

=42（

3

+2），
A、D垂直距離為BC•tanα=42

3

，
∴CD=AB-42

3

=84（米）．
答：建筑物CD的高為84米．

點評：本題考查俯角的定義，要求學生能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形．