Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分線交AB于點E，交射線BO于點F，點P從點A出發沿射線AO以每秒2個單位的速度運動，同時點Q從點O出發沿OB方向以每秒1個單位的速度運動，當點Q到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）①當t為何值時，PQ∥AB；②當t為何值時，PQ∥EF；

（2）當點P在O的左側時，記四邊形PFEQ的面積為S，求S關于t的函數關系式；

（3）以O為原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，若P、Q關于點O的對稱點分別為P′、Q′，當線段P′Q′，與線段EF有公共點時，拋物線y=ax2+1經過P′Q′的中點，此時的拋物線與x正半軸交于點M；

①求a的取值范圍；

②求點M移動的運動速度．

Answer 1

【答案】（1）①當t=時，PQ∥AB；②當t=時，PQ∥E

（2）S=t2+t﹣；

（3）①﹣16≤a≤﹣2

②單位長度/秒

【解析】

試題分析：（1）由△OPQ∽△OAB，得列出方程即可解決問題．

（2）過點E作EG⊥BF，根據S=QF×EG+QF×OP=QF（EG+OP）計算即可．

（3）①由圖象3，可知，≤t≤1時，線段P′Q′，與線段EF有公共點，分別求出t=，t=1時a的值即可解決問題．

②分別求出a=﹣16，a=﹣2時，點M坐標即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，①∵PQ∥AB，

∴△OPQ∽△OAB，

∴，

∵AP=2t，OQ=t，OA=，BO=1，

∴，

∴t=，

∴當t=時，PQ∥AB；

②∵PQ∥EF，

∴∠QPO=∠ENA，

∵∠AEN=∠QOP=90°，

∴△ANE∽△QOP，

∵∠AOB=90°，

∴tanA==，

∴∠A=∠PQO=30°，

∴=，

∴t=，

∴當t=時，PQ∥EF；

（2）如圖2中，過點E作EG⊥BF，

∵∠BAO=30°，

∴∠OBA=90°﹣∠BAO=60°，

∵BG=1﹣t，

∵EF為AB的垂直平分線，

∴BE=1，DF=1，

在Rt△BEA中，∠BEG=60°，BE=1，

∴EG=，

∴S=QF×EG+QF×OP=QF（EG+OP）=t2+t﹣；

（3）如圖3中，①設EF與x軸交于點G．

在RT△AEG中，∵∠AEG=90°，AE=1，∠EAG=30°，

∴cos∠EAG=，

∴AG=，OG=，

當P′1與點G重合時，t=（+）÷2=，

由圖象可知，≤t≤1時，線段P′Q′，與線段EF有公共點，

當t=時，P′1Q′1的中點坐標（，﹣），代入y=ax2+1得到，a=﹣16，

當t=1時，P′2Q′2的中點坐標（，﹣），代入y=ax2+1得到，a=﹣2，

∴﹣16≤a≤﹣2．

②當a=﹣16時，拋物線y=﹣16x2+1，與正半軸交于點M（，0），

當a=﹣2時，拋物線y=﹣2x2+1，與正半軸交于點M（，0），

∴點M移動的運動速度==單位長度/秒．