Question

我們容易發現：反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形.你可以利用這一結論解決問題.

如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數的圖象可以看作是：將軸所在的直線繞著原點逆時針旋轉α度角后的圖形.若它與反比例函數的圖象分別交于第一、三象限的點、，已知點、.

（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形的形狀一定是           ;

（2）①當點為時，四邊形是矩形，試求、α、和有值；

②觀察猜想：對①中的值，能使四邊形為矩形的點共有幾個？(不必說理)

（3）試探究：四邊形能不能是菱形？若能, 直接寫出B點的坐標, 若不能, 說明理由.

Answer 1

解：（1）平行四邊形      

（2）①∵點在的圖象上，∴

∴

過作，則

在中，

α=30°        ∴

又∵點B、D是正比例函數與反比例函數圖象的交點，

∴點B、D關于原點O成中心對稱    

∴OB=OD=    

∵四邊形為矩形，且

∴∴；       

②能使四邊形為矩形的點B共有2個；  

（3）四邊形不能是菱形.   

法一：∵點、的坐標分別為、

∴四邊形的對角線在軸上.

又∵點、分別是正比例函數與反比例函數在第一、三象限的交點.

∴對角線與不可能垂直.

∴四邊形不能是菱形

法二：若四邊形ABCD為菱形，則對角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，

因為點A、C的坐標分別為（-m，0）、（m，0）

所以點A、C關于原點O對稱，且AC在x軸上.

所以BD應在y軸上，這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，

所以四邊形ABCD不可能為菱形.