Question

【題目】如圖，等腰直角三角形的直角頂點在第一象限，頂點、分別在函數圖像的兩個分支上，且經過原點，與軸相交于點，連接，已知平分四邊形的面積.

(1)證明::

(2)求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) A（-2，4）

【解析】（1）根據反比例函數圖象的對稱性和三角線的面積公式得到S△ABD=2S△ACD．即BD=2CD；

（2）如圖，過點B作BE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x于F，連接OC，構建全等三角形△OBE≌△COF，結合該全等三角形的對應邊相等得到：BE=OF，OE=CF，由==2推知BE=2OE．設OE=a，則BE=2a，所以B（a，﹣2a），根據反比例函數圖象上點的坐標特征和反比例函數圖象的對稱性來求點A的坐標即可．

（1）∵函數y=﹣圖象關于原點對稱，∴OA=OB，∴S△AOD=S△BOD．

∵AD平分四邊形AODC的面積，∴S△AOD=S△ACD，∴S△ABD=2S△ACD，∴BD=2CD；

（2）如圖，過點B作BE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x于F，連接OC，則∠BEO=∠OFC=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB，∴∠BOC=90°，OC=AB=OB，∴∠BOE+∠COF=90°，而∠BOE+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠COF．

∵在△OBE與△COF中，，∴△OBE≌△COF（AAS），∴BE=OF，OE=CF．

∵∠OBE=∠COF，∴cos∠OBE=cos∠COF，∴=．

∵==2，∴BE=2CF，∴BE=2OE．

設OE=a，則BE=2a，∴B（a，﹣2a），∴a（﹣2a）=﹣8，解得：a=2，∴B（2，﹣4），∴A（﹣2，4）．