Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（-2，0），點B坐標為 （0，2 ），點E為線段AB上的動點（點E不與點A，B重合），以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=x²+mx+n的圖象經過A，C兩點．
（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便作答．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A、B的坐標求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出點C的坐標，再把點A、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）先求出∠BAO=∠ABO=45°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，再根據∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，從而得證；
（3）分①當OE=OF時，根據等邊對等角可得∠OFE=∠OEF=45°，然后根據三角形的內角和定理求出∠EOF=90°，從而得到點E與點A重合，不符合題意；②當FE=FO時，根據等邊對等角可得∠EOF=∠OEF=45°，再根據三角形的內角和定理求出∠EFO=90°，然后根據同旁內角互補，兩直線平行求出EF∥AO，再根據兩直線平行，同位角相等求出∠BEF=∠BAO=45°，然后求出EF=BF=OF=OB，再寫出點E的坐標即可；③當EO=EF時，過點E作EH⊥y軸于點H，利用“角角邊”證明△AOE和△BEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=AO=2，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出BH=EH=BE，再求出OH，然后寫出點E的坐標即可．
解答：解：（1）∵A （-2，0）B （0，2），
∴OA=OB=2，
∴AB===2，
∵OC=AB，
∴OC=2，
∴C（0，2），
又∵拋物線y=-x²+mx+n的圖象經過A、C兩點，
∴，
解得，，
所以，拋物線的表達式為y=-x²-x+2；

（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，
∴∠BEF=∠AOE；

（3）當△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論：
①當OE=OF時，∠OFE=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°，
又∵∠AOB=90°，
則此時點E與點A重合，不符合題意，此種情況不成立；

②如圖2，當FE=FO時，∠EOF=∠OEF=45°，
在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°，
∴EF∥AO，
∴∠BEF=∠BAO=45°，
又∵∠ABO=45°，
∴∠BEF=∠ABO，
∴BF=EF，
∴EF=BF=OF=OB=×2=1，
∴E（-1，1）；
③如圖3，當EO=EF時，過點E作EH⊥y軸于點H，
在△AOE和△BEF中，，
∴△AOE≌△BEF（AAS），
∴BE=AO=2，
∵EH⊥OB，∠BAO=45°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BH=EH=BE=×2=，
∴OH=OB-BH=2-，
∴E（-，2-），
綜上所述，當△EOF為等腰三角形時，所求E點坐標為E（-1，1）或E（-，2-）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，難點在于（3）要分情況討論．