Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，
①請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系．
②如果∠ACB不是直角，其他條件不變，①中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：①首先過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，根據角平分線的性質，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可證得△DMF≌△ENF，由全等三角形的對應邊相等，即可證得FE=FD；
②過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，根據角平分線的性質，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，繼而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可證得△DMF≌△ENF，由全等三角形的對應邊相等，即可證得FE=FD．

解答：解：①相等，
過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，
∵F是角平分線交點，
∴BF也是角平分線，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
在△DMF和△ENF中，

∠DMF=∠ENF ∠MDF=∠NEF MF=NF

，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴FE=FD；

②成立．
過點F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，
∵F是角平分線交點，
∴BF也是角平分線，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四邊形BNFM是圓內接四邊形，
∵∠ABC=60°，
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠ABC）=180°-

1

2

（180°-60°）=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，

∠DMF=∠ENF MF=NF ∠DFM=∠NFE

∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE=FD．

點評：此題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．