Question

【題目】如圖1，已知平行四邊形ABCD頂點A的坐標為（2，6），點B在y軸上，且AD∥BC∥x軸，過B，C，D三點的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，2），點F（m，6）是線段AD上一動點，直線OF交BC于點E．

（1）求拋物線的表達式；
（2）設四邊形ABEF的面積為S，請求出S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）如圖2，過點F作FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸，y軸于點H，G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵過B，C，D三點的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（2，2），

∴點C的橫坐標為4，BC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=BC=4，

∵A（2，6），

∴D（6，6），

設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+2，

∵點D在此拋物線上，

∴6=a（6﹣2）2+2，

∴a= ，

∴拋物線解析式為y= （x﹣2）2+2= x2﹣x+3

（2）

解：∵AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6）

∴E（ ，3），

∴BE= ，

∴S= （AF+BE）×3= （m﹣2+ ）×3= m﹣3

∵點F（m，6）是線段AD上，

∴2＜m≤6，

即：S= m﹣3（2＜m≤6）

（3）

解：方法一、∵拋物線解析式為y= x2﹣x+3，

∴B（0，3），C（4，3），

∵A（2，6），

∴直線AC解析式為y=﹣ x+9，

∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P

∴P（m，﹣ m+9），（2＜m≤6）

∴PN=m，PM=﹣ m+9，

∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點P作PN⊥y軸，

∴∠MPN=90°，

∴MN= = =

∵2＜m≤6，

∴當m= 時，MN最小= = ．

方法二、∵拋物線解析式為y= x2﹣x+3，

∴B（0，3），C（4，3），

∵A（2，6），

∴直線AC解析式為y=﹣ x+9，

∴G（0，9），H（6，0），

∴GH=3 ，

由題意知，四邊形NOMP為矩形，

∴MN=OP，

∴當OP⊥GH時，OP最短，即為MN最短，

∵S△GOH= OGOH= GHOP最小，

∴9×6=3 ×OP最小，

∴OP最小= ，

即：MN最小為

【解析】（1）根據平行四邊形的性質和拋物線的特點確定出點D，然而用待定系數法確定出拋物線的解析式．（2）根據AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6），確定出E（ ，3），從而求出梯形的面積．（3）方法一、先求出直線AC解析式，然后根據FM⊥x軸，表示出點P（m，﹣ m+9），最后根據勾股定理求出MN= ，從而確定出MN最小值和m的值．
方法二、由題意知，四邊形NOMP為矩形，MN=OP，所以當OP⊥GH時，OP最短，即為MN最短．然后利用三角形等面積法求出OP最小值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．