Question

【題目】如圖，在菱形中，，，為正三角形，點、分別在菱形的邊、上滑動，且、不與、、重合.

（1）證明不論、在、上如何滑動，總有；

（2）當(dāng)點、在、上滑動時，分別探討四邊形和的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化.理由見解析.

【解析】

（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題．當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則△CEF的面積就會最大．

證明：連接AC，如下圖所示，

∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°,∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF；
(2)四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化
理由：由(1)得△ABE≌△ACF，
則S△ABE=S△ACF，
故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點，則BH=2，
S四邊形AECF=S△ABC=BCAH==.

由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短.

故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，

又S△CEF=S四邊形AECFS△AEF，則此時△CEF的面積就會最大.

∴S△CEF=S四邊形AECFS△AEF=×2×=.

答：最大值是.