Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2

3

，直線y=

3

x-2

3

經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G．
（1）點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C______，D______；
（2）求頂點(diǎn)在直線y=

3

x-2

3

上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿直線y=

3

x-2

3

平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為點(diǎn)E（頂點(diǎn)在y軸右側(cè)）．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）令y=2

3

，2

3

=

3

x-2

3

，解得x=4，則OA=4-3=1，
∴C（4，2

3

），D（1，2

3

）；
故答案為（4，2

3

）；（1，2

3

）；

（2）由二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性得，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1+4

2

=

5

2

，
令x=

5

2

，則y=

3

×

5

2

-2

3

=

3

2

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，

3

2

），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-

5

2

)2+

3

2

，把點(diǎn)D(1，2

3

)代入得，a=

2 3

3

∴解析式為y=

2 3

3

(x-

5

2

)2+

3

2

（3）設(shè)頂點(diǎn)E在直線上運(yùn)動(dòng)的橫坐標(biāo)為m，則E(m，

3

m-2

3

)(m＞0)
∴可設(shè)解析式為y=

2 3

3

(x-m)2+

3

m-2

3

，
①當(dāng)FG=EG時(shí)，F(xiàn)G=EG=2m，則F(0，2m-2

3

)，代入解析式得

2 3

3

m2+

3

m-2

3

=2m-2

3

，
得m=0（舍去），m=

3

-

3

2

，
此時(shí)所求的解析式為：y=

2 3

3

(x-

3

+

3

2

)2+3-

7 3

2

；
②當(dāng)GE=EF時(shí)，F(xiàn)G=2

3

m，則F（0，2

3

m-2

3

），
代入解析式得：

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2

3

m-2

3

，解得m=0（舍去），m=

3

2

，
此時(shí)所求的解析式為：y=

2 3

3

（x-

3

2

）²-

3

2

；
③當(dāng)FG=FE時(shí)，不存在．