Question

（2012•臨沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動點M從點A出發沿邊AD向點D運動．
（1）如圖1，當b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明∠BMC=90°；
（2）如圖2，當b＞2a時，點M在運動的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當b＜2a時，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由b=2a，點M是AD的中點，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°；
（2）由∠BMC=90°，易證得△ABM∽△DMC，設AM=x，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得方程：x²-bx+a²=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可確定方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于零，符合題意；
（3）由（2），當b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x²-bx+a²=0的根的情況，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵b=2a，點M是AD的中點，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．

（2）解：存在，
理由：若∠BMC=90°，
則∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴

AM

CD

=

AB

DM

，
設AM=x，則

x

a

=

a

b-x

，
整理得：x²-bx+a²=0，
∵b＞2a，a＞0，b＞0，
∴△=b²-4a²＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于零，符合題意，
∴當b＞2a時，存在∠BMC=90°，

（3）解：不成立．
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x²-bx+a²=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，
∴△=b²-4a²＜0，
∴方程沒有實數根，
∴當b＜2a時，不存在∠BMC=90°，即（2）中的結論不成立．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及一元二次方程的性質．此題難度較大，解此題的關鍵是利用相似的性質構造方程，然后利用判別式求解．