Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延長線于F．

（1）求證：BE=CF；
（2）如果AB=7，AC=5，求AE，BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE=6，BE=1．

【解析】

1）連接DB、DC，先由角平分線的性質就可以得出DE=DF，再證明△DBE≌△DCF就可以得出結論；
（2）由條件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，進而就可以求出結論．

（1）連接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．

∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠AFD=∠DFC=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中 ，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，
∴AC+CF=AB-BE
∵AB=7，AC=5，
∴5+BE=7-BE，
∴BE=1，
∴AE=7-1=6．
答：AE=6，BE=1．