Question

如圖所示，已知實數m是方程x²-8x+16=0的一個實數根，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c交x軸于點A（m，0）和點B，交y軸于點C（0，m）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設點D為線段AB上的一個動點，過D作DE∥BC交AC于點E，又過D作DF∥AC交BC于點F，當四邊形DECF的面積最大時，求點D的坐標；
（3）設△AOC的外接圓為⊙G，若M是⊙G的優弧ACO上的一個動點，連接AM、OM，問在這個拋物線位于y軸左側的圖象上是否存在點N，使得∠NOB=∠AMO？若存在，試求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程可求得m的值，即可確定A、C的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值．
（2）欲求四邊形CEDF的面積最大值，需將面積問題轉化為二次函數的最值問題；可設出D點的橫坐標，即可表示出DB、AD的長，易證得△BFD、△AED都與△ABC相似，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到△BFD和△DEA的面積表達式，而平行四邊形CEDF的面積為△ABC、△BFD、△DEA的面積差，由此可得到關于平行四邊形CEDF的面積和D點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形CEDF的面積最大值及對應的D點坐標．
（3）根據A、C的坐標，易知△AOC是等腰直角三角形，那么G為AC的中點，假設存在符合條件的N點，由于N在y軸左側，那么∠NOB＜90°，若∠AMO=∠NOB，那么∠AMO必為銳角，即M在劣弧OC上；根據圓周角定理知∠AMD=∠OCA=45°，那么∠NOB=45°，即N點的橫、縱坐標的絕對值相等，再聯立拋物線的解析式，即可求得N點的坐標．

解答：解：（1）∵實數m是方程x²-8x+16=0的一個實數根，
∴m=4；
即A（4，0）、C（0，4），代入拋物線的解析式中，可得：

- 1 2 ×16+4b+c=0 c=4

，
解得

b=1 c=4

；
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）易知：B（-2，0），則AB=6，S_△ABC=

1

2

AB•OC=12；
設點D的坐標為：（d，0），則BD=d+2，AD=4-d；
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

S△BDF

S△BAC

=(

BD

AB

)2=(

d+2

6

)2；
∵S_△ABC=12，
∴S_△BDF=

1

3

（d+2）²；
同理可求得：S_△ADE=

1

3

（4-d）²；
∴S_?CEDF=S_△ABC-S_△BDF-S_△ADE
=12-

1

3

（d+2）²-

1

3

（4-d）²
=-

2

3

d²+

4

3

d+

16

3

=-

2

3

（d-1）²+6；
故當d=1，即D（1，0）時，四邊形CEDF的面積最大，且最大值為6．

（3）如圖：
由于A（4，0）、C（0，4），那么OA=OC=4，即△OAC是等腰直角三角形；
點N在y軸左側，那么∠NOB＜90°，
因此∠AMO也是銳角，即M在弧ACO上，由圓周角定理知：∠ACO=∠AMO=45°，
故∠NOB=∠AMO=45°；
設N點坐標為（m，n），則|m|=|n|；
當m=n時，N（m，m），代入拋物線的解析式中，得：
m=-

1

2

m²+m+4，解得：m=-2

2

（正值舍去）；
∴N（-2

2

，-2

2

）；
當m=-n時，N（m，-m），代入拋物線的解析式中，
得：-m=-

1

2

m²+m+4，
解得：m=2-2

3

（正值舍去）；
∴N（2-2

3

，2

3

-2）；
綜上所述，存在符合條件的N點，且N點坐標為：N（-2

2

，-2

2

）或（2-2

3

，2

3

-2）．

點評：本題是二次函數的綜合題，涉及的知識點有：二次函數解析式的確定、相似三角形的性質、三角形的外接圓、圓周角定理、圖形面積的求法的重要知識點；
（2）題能夠將面積問題轉化為二次函數的最值問題是解得此題的關鍵；
（3）題中，能夠判斷出∠NOB的度數是關鍵所在，注意N點的坐標要分類討論，不要漏解．