Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點為Q，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式及其頂點Q的坐標；
（2）在該拋物線上求一點P，使得S△PAB=S△ABC ， 求出點P的坐標：
（3）若點D是第一象限拋物線上的一個動點，過點D作DE⊥x軸，垂足為E．有一個同學說：“在第一象限拋物線上的所有點中，拋物線的頂點Q與x軸相距最遠，所以當點D運動至點Q時，折線D﹣E﹣O的長度最長．”這個同學的說法正確嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，

∴y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5，

∴拋物線的解析為y=﹣x2+4x+5；

∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，

∴頂點Q的坐標為（2，9）

（2）

解：在y=﹣x2+4x+5中，當x=0時，y=5，

∴點C的坐標為：（0，5），

設點P的縱坐標為a，

若S△PAB=S△ABC，則|a|=5，

解得a=±5．

當a=5時，﹣x2+4x+5=5，解得x=0（舍去）或x=4，此時點p的坐標為（4，5）；

當a=﹣5時，﹣x2+4x+5=﹣5，解得x=2± ，此時點p的坐標為（2+ ，﹣5）或（2﹣ ，﹣5）；

綜上，點p的坐標為（4，5）或（2+ ，﹣5）或（2﹣ ，﹣5）

（3）

解：這個同學的說法不正確

理由：設D（t，﹣t2+4t+5），折線D﹣E﹣O的長度為L，

則L=﹣t2+4t+5+t=﹣（t﹣ ）2+ ．

∵a＜0，

∴當t= 時，L最大值= ．

而當點D與點Q重合時，L=9+2=11＜ ，

∴該同學的說法不正確

【解析】（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，可直接利用交點式求得y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5，繼而求得頂點Q的坐標；（2）首先設點P的縱坐標為a，由S△PAB=S△ABC ， 可得a=±5，然后可得﹣x2+4x+5=±5，繼而求得點P的坐標；（3）首先設D（t，﹣t2+4t+5），折線D﹣E﹣O的長度為L，則可得L=﹣t2+4t+5+t，然后求得最大值，即可知這個同學的是否說法正確．