Question

已知二次函數的圖象過點（4，3），它的頂點坐標是（2，-1）．
（1）求這個二次函數的關系式；
（2）若二次函數的圖象與x軸交于點A、B（A在B的左側），與y軸交于點C，線段AC的垂直平分線與x軸交于點D．求：①點D的坐標；②△DBC的外接圓半徑R的值．

Answer 1

分析：（1）由二次函數的圖象過點（4，3），它的頂點坐標是（2，-1），設頂點式，利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；
（2）①首先由（1）中的解析式，求得點A，B，C的坐標，然后由線段AC的垂直平分線與x軸交于點D，設D（x，0），根據AD=CD列方程，解方程即可求得點D的坐標；
②由△DBC的外接圓的圓心是△DBC的三邊垂直平分線的交點，首先求得此外接圓的圓心的橫坐標，然后設其坐標為F（-

1

2

，y），由FC=FB，即可求得y的值，則可得△DBC的外接圓半徑R的值．

解答：解：（1）設這個二次函數的關系式為：y=a（x-2）²-1，
∵二次函數的圖象過點（4，3），
∴3=4a-1，
解得：a=1，
∴這個二次函數的關系式為y=（x-2）²-1；

（2）①∵令x=0，可得y=3，
令y=0，可得：x=1或x=3，
∴點A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵線段AC的垂直平分線與x軸交于點D，
∴AD=CD，
設D（x，0），
則（1-x）²=x²+9，
解得：x=-4，
∴點D的坐標為（-4，0）；

②∵△DBC的外接圓的圓心是△DBC的三邊垂直平分線的交點，
∴點F的橫坐標為

-4+3

2

=-

1

2

，
設點F（-

1

2

，y），
∵FC=FB，
∴

1

4

+（y-3）²=（3+

1

2

）²+y²，
解得：y=-

1

2

，
∴點F（-

1

2

，-

1

2

）．
∴R=

1

4

+（-

1

2

-3）²=

25

2

．
∴△DBC的外接圓半徑R的值為

25

2

．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，垂直平分線的性質，以及三角形外接圓的知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．