Question

（2008•龍巖）如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點，直線FA⊥x軸于點A，點D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，連DM并延長交x軸于點C．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并給出證明；
（2）設點D的坐標為（-2，4），試求MC的長及直線DC的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線與圓的關系無非是相切，相交和相離，只要連接OM證明OM是否與DC垂直即可得出結論．
解題思路：通過證明三角形AOD和DOM全等來求解．已知的條件有OA=OM，一條公共邊OD，只要證明出兩組對應邊的夾角相等即可．
可通過OD∥MB，OM=OB來證得．
（2）求MC的長就要求出DC的長，也就是要求出AC的長．已知了D的坐標，那么AD，OA，AB的長就都知道了．
不難得出三角形OMC和DAC相似，因此可得出OM，AD，CM，AC的比例關系．已知了AD，OM的長，就能求出MC，AC的比例關系了．
在直角三角形ADC中，AD的長已知，DC=DM+MC=DA+MC，那么可根據勾股定理和MC，AC的比例關系求出MC的長．也就求出了M的坐標．有了M和D的坐標可以用待定系數法求出DC所在直線的函數解析式．
解答：解：（1）答：直線DC與⊙O相切于點M．
證明如下：連OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO與△DMO中，．
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
由于FA⊥x軸于點A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．

（2）由D（-2，4）知OA=2（即⊙O的半徑），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知===．
∴AC=2MC，
在Rt△ACD中，CD=MC+4．
由勾股定理，有（2MC）²+4²=（MC+4）²，解得MC=或MC=0（不合題意，舍去）．
∴MC的長為．
∴點C（，0）．
設直線DC的解析式為y=kx+b．
則有．
解得．
∴直線DC的解析式為y=-x+．
點評：本題綜合考查了全等三角形，相似三角形的判斷與性質以及一次函數的應用，利用全等三角形和相似三角形來得出線段相等或成比例是解題的關鍵．