Question

如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數y=x+3的圖象與y軸的交點，點B在二次函數的圖象上，且該二次函數圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形．
（1）試求b，c的值，并寫出該二次函數表達式；
（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：
①當P運動到何處時，有PQ⊥AC？
②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？

Answer 1

解：（1）由y=-x+3，
令x=0，得y=3，所以點A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以點C（4，0），
∵△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，
∴B點坐標為（-4，0），
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴D點坐標為（8，3），
將點B（-4，0）、點D（8，3）代入二次函數y=x²+bx+c，可得，
解得：，
故該二次函數解析式為：y=x²-x-3．

（2）①設點P運動了t秒時，PQ⊥AC，此時AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
∵PQ⊥AC，
∴△APQ∽△CAO，
∴=，即=，
解得：t=．
即當點P運動到距離A點個單位長度處，有PQ⊥AC．
②∵S_{四邊形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=×8×3=12，
∴當△APQ的面積最大時，四邊形PDCQ的面積最小，
當動點P運動t秒時，AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
設△APQ底邊AP上的高為h，作QH⊥AD于點H，由△AQH∽CAO可得：=，
解得：h=（5-t），
∴S_△APQ=t×（5-t）=（-t²+5t）=-（t-）²+，
∴當t=時，S_△APQ達到最大值，此時S_{四邊形PDCQ}=12-=，
故當點P運動到距離點A個單位處時，四邊形PDCQ面積最小，最小值為．
分析：（1）根據一次函數解析式求出點A、點C坐標，再由△ABC是等腰三角形可求出點B坐標，根據平行四邊形的性性質求出點D坐標，利用待定系數法可求出b、c的值，繼而得出二次函數表達式．
（2）①設點P運動了t秒時，PQ⊥AC，此時AP=t，CQ=t，AQ=5-t，再由△APQ∽△CAO，利用對應邊成比例可求出t的值，繼而確定點P的位置；
②只需使△APQ的面積最大，就能滿足四邊形PDCQ的面積最小，設△APQ底邊AP上的高為h，作QH⊥AD于點H，由△AQH∽CAO，利用對應邊成比例得出h的表達式，繼而表示出△APQ的面積表達式，利用配方法求出最大值，即可得出四邊形PDCQ的最小值，也可確定點P的位置．
點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求函數解析式、平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是找到滿足題意時的相似三角形，利用對應邊成比例的知識得出有關線段的長度或表達式，難度較大．