Question

某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元；市場調查發現，若每箱以45元的價格銷售，平均每天銷售105箱；每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱．假定每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間滿足一次函數關系式．
（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式；
（2）求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式；
（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）利用每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間滿足一次函數關系式，利用待定系數法求出一次函數解析式即可；
（2）利用該批發商平均每天的銷售利潤w（元）=每箱的銷售利潤×每天的銷售量得出即可；
（3）根據題中所給的自變量的取值得到二次的最值問題即可．

解答：解：（1）設y=kx+b，
把已知（45，105），（50，90）代入得，

45k+b=105 50k+b=90

，
解得：

k=-3 b=240

，
故平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式為：y=-3x+240；

（2）∵水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，銷售價x元/箱，
∴該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式為：
W=（x-40）（-3x+240）=-3x²+360x-9600．

（3）W=-3x²+360x-9600=-3（x-60）²+1200，
∵a=-3＜0，∴拋物線開口向下．
又∵對稱軸為x=60，∴當x＜60，W隨x的增大而增大，
由于50≤x≤55，∴當x=55時，W的最大值為1125元．
∴當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得最大利潤，為1125元．

點評：此題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常用函數的增減性來解答，要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．