Question

如圖，等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把等腰三角形與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時，應保證相似三角形的“正度”相等．

設等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β．要求“正度”的值是非負數．
同學甲認為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同學乙認為：可用式子|α-β|來表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
探究：（1）他們的方案哪個較合理，為什么？
（2）對你認為不夠合理的方案，請加以改進（給出式子即可）；
（3）請再給出一種衡量“正度”的表達式．

Answer 1

解：（1）同學乙的方案較為合理．因為|α-β|的值越小，α與β越接近60°，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等．
同學甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等．如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4．

（2）對同學甲的方案可改為用，等（k為正數）來表示“正度”．

（3）還可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，等來表示“正度”．
分析：將甲乙兩同學的推測進行推理，若代入特殊值不成立，則推理不成立．
點評：此題是以到開放性問題，體現了探索發現的過程：發現問題，作出假設，進行驗證，加以證明．