Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且＝.連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD，DE.若CF＝2，AF＝3.下列結論：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4.其中正確的是________．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】試題分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據垂徑定理可得：=，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；

②由=，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；

③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=；

④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S△DEF=．

①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴=，DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED；

故①正確；

②∵=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2；

故②正確；

③∵AF=3，FG=2，

∴AG==，

∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，

∴tan∠E=；

故③錯誤；

④∵DF=DG+FG=6，AD==，

∴S△ADF=DFAG=×6×=，

∵△ADF∽△AED，

∴，

∴=，

∴S△AED=，

∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=；

故④正確．

故答案為：①②④．