Question

如圖，點P是反比例函數(shù)y=

k1

x

（k₁＞0，x＞0）圖象上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交反比例函數(shù)y=

k2

x

（k₂＜0且|k₂|＜k₁）的圖象于E、F兩點．
（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=

 

（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）圖2中，設(shè)P點坐標(biāo)為（2，3）．
①點E的坐標(biāo)是（

 

，

 

），點F的坐標(biāo)是（

 

，

 

）（用含k₂的式子表示）；
②若△OEF的面積為

8

3

，求反比例函數(shù)y=

k2

x

的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義即可解答；
（2）①根據(jù)PE⊥x軸，PF⊥y軸可知，P、E兩點的橫坐標(biāo)相同，P、F兩點的縱坐標(biāo)相同，分別把P點的橫縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k2

x

即可求出E、F兩點的坐標(biāo)；
②先根據(jù)P點的坐標(biāo)求出k₁的值，再由E、F兩點的坐標(biāo)用k₂表示出PE、PF的長，再用k₂表示出△PEF的面積，把（1）的結(jié)論代入求解即可．

解答：解：（1）∵P是點P是反比例函數(shù)y=

k1

x

（k₁＞0，x＞0）圖象上一動點，∴S_矩形PBOA=k₁，
∵E、F分別是反比例函數(shù)y=

k2

x

（k₂＜0且|k₂|＜k₁）的圖象上兩點，
∴S_△OBF=S_△AOE=

1

2

|k₂|，
∴四邊形PEOF的面積S₁=S_矩形PBOA+S_△OBF+S_△AOE=k₁+|k₂|，
∵k₂＜0，
∴四邊形PEOF的面積S₁=S_矩形PBOA+S_△OBF+S_△AOE=k₁+|k₂|=k₁-k₂．

（2）①∵PE⊥x軸，PF⊥y軸可知，P、E兩點的橫坐標(biāo)相同，P、F兩點的縱坐標(biāo)相同，
∴E、F兩點的坐標(biāo)分別為E（2，

k2

2

），F(xiàn)（

k2

3

，3）；

②∵P（2，3）在函數(shù)y=

k1

x

的圖象上，
∴k₁=6，
∵E、F兩點的坐標(biāo)分別為E（2，

k2

2

），F(xiàn)（

k2

3

，3）；
∴PE=3-

k2

2

，PF=2-

k2

3

，
∴S_△PEF=

1

2

（3-

k2

2

）（2-

k2

3

）=

(6-k2)2

12

，
∴S_△OEF=（k₁-k₂）-

(6-k2)2

12

=（6-k₂）-

(6-k2)2

12

=

36-k22

12

=

8

3

，
∵k₂＜0，
∴k₂=-2．
∴反比例函數(shù)y=

k2

x

的解析式為y=-

2

x

．

點評：本題難度較大，涉及到反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及三角形的面積公式、兩點間的距離公式，涉及面較廣，難度較大．