Question

如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為E、F，試判斷EF與AP的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：由PE⊥BC，PF⊥CD，四邊形ABCD是正方形，可得四邊形PECF是矩形，根據矩形的性質，可得EF=PC，然后證得△PAD≌△PCD，即可得PA=PC，則可證得EF=AP．

解答：解：法一：EF=AP．理由：
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四邊形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
連接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD對角線上一點，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，

AD=CD ∠PDA=∠PDC PD=PD

，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC，
∴EF=AP．

法二：延長FP交AB于點G，
則四邊形PEBG是正方形，
∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°，
∵AG=AB-BG，PF=FG-PG，
∴AG=PF，
在△APG和△FEP中，

AG=FP ∠PGA=∠EPF PG=PE

，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴AP=EF．

點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及矩形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．